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Das Paradoxon von den zwei Assen

13. Mai 2010 Das Paradoxon von den zwei Assen

Rätsel

Ich bin kürzlich über ein sehr interessantes stochastisches Phänomen gestolpert, das ich dermaßen unintuitiv finde, dass ich es als Paradoxon bezeichnen würde.
Bei genauerer Betrachtung hat es Ähnlichkeiten mit dem Ziegenproblem.

Es geht ungefähr so:

Zitat:

Hans spielt Poker mit einem üblichen Kartendeck.

Er sagt "Ich habe ein Ass auf der Hand".
Mit einer gewissen (berechenbaren) Wahrscheinlichkeit hat er noch ein zweites Ass auf der Hand.

Wenn er aber sagt: "Ich habe ein Pik-Ass auf der Hand" so ist die Wahrscheinlichkeit, dass er noch ein zweites Ass auf der Hand hat, größer, als im ersten Fall.



Genauer gesagt: die Tatsache, dass Hans die Information, um welches Ass es sich handlet, mitteilt, erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass er ein (beliebiges) anderes Ass auf der Hand hat.

Dies ist für mich insofern verwirrend, da er ja entweder ein Herz-, Kreuz-, Karo- oder Pik-Ass haben muss, und jedes dieser Asse birgt dieselbe Wahrscheinlichkeit, dass er noch ein zweites Ass hat.
Teilt er aber die Farbe seines Asses nicht mit, so sinkt damit die Wahrscheinlichkeit, dass er noch ein zweites Ass hat.

Bei einer genaueren (stochastischen) Betrachtung der Angelegenheit wird klar, warum dieser Sachverhalt gilt.

(Wer selbst versuchen möchte, dies zu beweisen, sollte dies tun, bevor er den Spoiler öffnet)

Spoiler: Lösung


Da eine Betrachtung mit einem kompletten Poker-Blatt aufwendig ist, möchte ich den Fall darauf reduzieren, dass das Kartendeck nur aus den Karten:

  • Pik-7
  • Herz-7
  • Pik-Ass
  • Herz-Ass

besteht und Hans insgesamt nur 2 Karten zieht.

Obwohl diese Situation deutlich übersichtlicher ist, trifft man hier das selbe Phänomen an. Es sollte leicht sein, dies auf den allgemeinen Fall zu erweitern.

Zunächst sollte man die Menge der Karten definieren: K=\{P7; H7; PA, HA\}
Da Hans genau 2 Karten zieht, ist die Menge der Elementarereignisse die Menge der (ungeordneten) Zwei-Tupel aus verschiedenen Elementen der Kartenmenge (die Reihenfolge der Karten spielt hier keine Rolle):

\Omega = \{(k_1, k_2): k_1,k_2 \in K, k_1 \neq k_2\} =
=\{(P7, H7), (P7, PA), (P7, HA), (H7, PA), (H7, HA), (PA, HA)\}

Ich gehe von einer Gleichverteilung der Elementarereignisse aus (also Laplace-Wahrscheinlichkeit):
\forall_{\omega \in \Omega}:P(\omega)=\frac{1}{|\Omega|}=\frac{1}{6}

Situation 1:

Wir betrachten hier das Ereignis A: "Hans hat ein Ass auf der Hand".
Wie man leicht sieht, umfasst dieses Ereignis 5 Elementarerignisse, also:
A=\{(P7, PA), (P7, HA), (H7, PA), (H7, HA), (PA, HA)\}
\Rightarrow P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{5}{6}

Nun betrachten wir das Ereignis B: "Hans hat noch ein zweites Ass auf der Hand". Offenbar gilt:
B=\{(PA, HA)\}
\Rightarrow P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{1}{6}
Man sieht leicht, dass B \subset A \Rightarrow A \cap B = B

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit B unter A gilt nun:
P(B|A)=\frac{P(B \cap A)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{5}{6}}=\frac{1}{5}

Situation 2:

Nun betrachten wir im Vergleich das Ereignis C: "Hans hat das Pik-Ass auf der Hand".
Dieses Ereignis umfasst 3 Elementarereignisse:
C=\{(P7, PA), (H7, PA), (PA, HA)\}
\Rightarrow P(C)=\frac{|C|}{|\Omega|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

Das Ereignis B verhält sich wie oben und wiederum gilt: B \subset C \Rightarrow C \cap B = B

Betrachtet man allerdings die bedingte Wahrscheinlichkeit B unter C, so sieht man:
P(B|C)=\frac{P(B \cap C)}{P(C)}=\frac{P(B)}{P(C)}=\frac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{3}{6}}=\frac{1}{3}

Offenbar gilt also in der Tat P(B|C) > P(B|A) und die Aussage ist - wenn auch nicht unbedingt intuitiv - so doch zumindest mathematisch korrekt.

Schlagworte: Mathematik, Paradoxon, Rätsel
Veröffentlicht am 13.05.2010 17:33 in Stochastik | 1 Kommentare »

Kommentare

1
04.05.2012 23:06 Attila

Die Ausgangssituation sollte man zunächst exakter formulieren, in etwa:

Hans spielt Poker mit einem üblichen Kartendeck.

ER BEJAHT DIE FRAGE, OB ER MINDESTENS EIN ASS HÄLT.
Mit einer gewissen (berechenbaren) Wahrscheinlichkeit hat er noch ein zweites Ass auf der Hand.

Wenn er aber die FRAGE, OB ER DAS PIK-ASS HAT, BEJAHT, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass er noch ein zweites Ass auf der Hand hat, größer, als im ersten Fall.


So wird nämlich klar, dass das Pik-Ass von vornherein eine gesonderte Stellung unter den Assen hat, sonst könnte der Eindruck entstehen, er würde einfach nur exakt die Farbe des Asses nennen, das er hält.
Dies ist ihm im Falls eines Asses, welches kein Pik ist, aber verboten.

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